Frações e Seus Significados

Origem dos Números Fracionários

Quando o assunto são as frações e seus significados, inicialmente se pensa na utilização dos números fracionários nas situações em que ocorre a divisão de quantidades e grandezas. Simplificando as definições, podemos dizer que quantidade é aquilo que podemos contar e grandeza é aquilo que podemos medir.

Os egípcios utilizavam as frações desde 2000 a.C., como nos mostra o manual redigido pelo sacerdote Ahmés e que faz parte da coleção Rhind, no British Museum. O curioso é que os egípcios utilizavam frações unitárias, ou seja, com numerador sempre 1, como nos exemplos 1/2, 1/3 e 1/4.

Eles resolviam problemas parecidos com este:

Dividir 100 pães entre 5 pessoas, em partes crescendo por diferenças iguais.

Uma possibilidade é: 18, 19, 20, 21 e 22. Outra possibilidade é: 16, 18, 20, 22 e 24. Existem mais algumas. Quantas faltam?

A Fração é Uma Divisão Exata

As operações envolvendo frações surgiram na Índia no século V e foram levadas ao ocidente pelos árabes, mas só mil anos depois surgiram os procedimentos de cálculo com frações da maneira como fazemos atualmente.

No caso acima, as soluções são mais intuitivas porque os resultados correspondem a pães inteiros. Quando se pretende pretende dividir 8 pães entre 5 pessoas é necessário utilizar quantidades menores que 1 pão. A calculadora e os números decimais, aqueles que se escrevem com vírgula, nem sempre são suficientes para quantificar ou entender certos fenômenos que esbarram em frações e seus significado.

De acordo com os poucos registros, a matemática egípcia aparentava ser uma coleção de receitas engenhosas. Na linguagem atual chamamos essas receitas de algoritmos.

A Fração é Uma Razão

Vista dessa maneira, a razão é constituída após a comparação entre duas quantidades. A relação entre essas duas quantidades é representada na forma de fração. Um exemplo de razão seria a comparação entre a quantidade de meninos e meninas em uma sala. Apesar de simples, podemos estabelecer quatro relações diferentes, são elas:

• i) Quantidade de meninos comparada com o total de alunos.
• ii) Quantidade de meninas comparada com o total de  alunos.
• iii) Quantidade de meninos comparada com a quantidade de meninas.
• iv) Quantidade de meninas comparada com a quantidade de meninos.

A Fração é Uma Proporção

Euclides escreveu grande parte do estudo relativo às proporções que são válidos e aplicados até hoje. O que diferencia a razão de uma proporção é que a proporção não tem, necessariamente, uma correspondência com as quantidades comparadas, por exemplo:

Em uma cesta com 4 bananas e 8 maçãs podemos comparar a quantidade de bananas com a quantidade de maçãs obtendo a razão 4/8. Se as quantidades das frutas forem irrelevantes para um certo contexto, pode-se aplicar a ideia de proporção dizendo que existe 1 banana para duas maçãs ou simplesmente 1 para 2 (1/2).

É nesse sentido que foram criados os algoritmos de MMC e MDC que atribuem as frações outros significados. Neste ponto do estudo das frações ocorre uma ampliação dos das estruturas matemáticas que dependem das frações. Para muitos alunos, o estudo do MMC e do MDC se torna um obstáculo a ser transposto.

A Porcentagem (%) é um Tipo de Proporção

Talvez esta seja a maneira mais comum de utilizar as frações e seus significados. A porcentagem pode ser entendida como uma proporção com o denominador sempre 100. Nas situações reais, surge a necessidade de arredondamento da porcentagem sem graves consequências.

Uma das utilidades da porcentagem é facilitar a comparação entre quantidades, por isso utilizamos o denominador sempre 100.

Exemplo: Dizer que certo jogador fez 4 gols em 5 partidas é uma maneira de expressar a quantidade de gols. Podemos dizer a mesma coisa utilizando a porcentagem e dizer que o jogador marca gol em 80% das partidas. Aqui é necessário bastante domínio da ideia de proporção pois, seguindo o proporção de 4 gols em 5 partidas seria, equivalente dizer que o jogador marcaria 80 gols se jogasse 100 partidas, ou seja 80%.

A Fração é Parte de 1 Inteiro

É a maneira mais comum de utilizar as frações e seus significados. A relação é estabelecida entre 1 inteiro (o todo) e uma determinada quantidade de partes desse inteiro. Para que seja possível realizar operações matemáticas entre as partes de 1 inteiro é necessário que essas partes sejam relacionadas com mesmo todo.

Para exemplificar essa situação podemos considerar duas situações:

A) Josezinho tem 1/2 biscoito.

B) Josezão tem 1/2 pacote de biscoitos.

Não é difícil encontrar alunos que, distraidamente, considerem que ambos possuam a mesma quantidade de biscoitos pois ambos têm 1/2. No exemplo A, o 1 inteiro (todo) é o biscoito enquanto no exemplo B o 1 inteiro (todo) é o pacote de biscoito.

As Frações Como um Conjunto Numérico

Uma maneira de apresentar o conjunto dos números racionais é como sendo uma extensão do conjunto dos números inteiros. Outra maneira é apresentar o conjunto dos números racionais como um conjunto que inclui o conjunto dos números inteiros.

A definição formal é:

Q = { a/b | a ∈ Z e b ∈ Z* }

Observe que a definição acima utiliza frações.

Para refletir: O conjunto dos números racionais perde a propriedade de um elemento possuir sucessor e antecessor.

Jogos e Recursos Digitais

Para aprender frações de maneira lúdica por meio da gamificação acesse PHET e aprenda brincando.

Bibliografia

BOYER, C. B. História da Matemática. São Paulo: Editora da Universidade de São Paulo, 1974.

RIBEIRO, Miguel. Brincar com Intencionalidade Matemática. Curitiba: Editora Appris, 2021.